cmath — Математические функции для комплексных чисел¶

Преобразования в полярные координаты и обратно¶

Комплексное число Python z хранится внутри с использованием прямоугольных или картезианских координат. Оно полностью определяется своей реальной частью z.real и своей мнимой частью z.imag. Другими словами:

z == z.real + z.imag*1j

Полярные координаты дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число z определяется модулем r и фазовым углом phi. Модуль r - это расстояние от z до начала координат, а фаза phi - это угол против часовой стрелки, измеряемый в радианах, от положительной оси x до отрезка прямой, соединяющей начало координат с z.

Следующие функции могут быть использованы для преобразования исходных прямоугольных координат в полярные и обратно.

cmath.phase(x)¶

Возвращает фазу x (также известную как аргумент от x), как float. phase(x) эквивалентно math.atan2(x.imag, x.real). Результат лежит в диапазоне [-π, π], а срез ветви для этой операции лежит вдоль отрицательной вещественной оси, непрерывной сверху. В системах с поддержкой знаковых нулей (к которым относится большинство современных систем) это означает, что знак результата совпадает со знаком x.imag, даже если x.imag равен нулю:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

cmath.polar(x)¶

Возвращает представление x в полярных координатах. Возвращает пару (r, phi), где r - модуль x, а phi - фаза x. polar(x) эквивалентно (abs(x), phase(x)).

cmath.rect(r, phi)¶

Возвращает комплексное число x с полярными координатами r и phi. Эквивалентно r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j).

Силовые и логарифмические функции¶

cmath.exp(x)¶

Возвращает e, возведенное в степень x, где e - основание натурального логарифма.

cmath.log(x[, base])¶

Возвращает логарифм от x по заданному базе. Если база не указана, возвращается натуральный логарифм от x. Существует один срез ветви, от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.log10(x)¶

Возвращает логарифм по основанию 10 от x. Имеет тот же срез ветви, что и log().

cmath.sqrt(x)¶

Возвращает квадратный корень из x. Имеет тот же срез ветви, что и log().

Тригонометрические функции¶

cmath.acos(x)¶

Возвращает косинус дуги x. Есть два отрезка ветви: Одна простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывная снизу. Другая ветвь простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывная сверху.

cmath.asin(x)¶

Возвращает синус дуги x. Имеет те же разрезы ветвей, что и acos().

cmath.atan(x)¶

Возвращает касательную к дуге x. Есть два отрезка ветви: Один продолжается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывный справа. Другая - от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывная слева.

cmath.cos(x)¶

Возвращает косинус x.

cmath.sin(x)¶

Возвращает синус x.

cmath.tan(x)¶

Возвращает тангенс к x.

Гиперболические функции¶

cmath.acosh(x)¶

Возвращает обратный гиперболический косинус от x. Имеется один срез ветви, простирающейся влево от 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывной сверху.

cmath.asinh(x)¶

Возвращает обратный гиперболический синус x. Есть два отрезка ветви: Одна из них простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывная справа. Другая - от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывная слева.

cmath.atanh(x)¶

Возвращает обратный гиперболический тангенс к x. Есть два отрезка ветви: Один продолжается от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другая простирается от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывной сверху.

cmath.cosh(x)¶

Возвращает гиперболический косинус x.

cmath.sinh(x)¶

Возвращает гиперболический синус x.

cmath.tanh(x)¶

Возвращает гиперболический тангенс к x.

Функции классификации¶

cmath.isfinite(x)¶

Возвращает True, если действительная и мнимая части x конечны, и False в противном случае.

Добавлено в версии 3.2.

cmath.isinf(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x является бесконечностью, и False в противном случае.

cmath.isnan(x)¶

Возвращает True, если действительная или мнимая часть x является NaN, и False в противном случае.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶

Возвращает True, если значения a и b близки друг к другу, и False в противном случае.

Считаются ли два значения близкими или нет, определяется в соответствии с заданными абсолютными и относительными допусками.

rel_tol - относительный допуск - это максимально допустимая разница между a и b, относительно большего абсолютного значения a или b. Например, чтобы установить допуск в 5%, передайте rel_tol=0.05. Допуск по умолчанию равен 1e-09, что гарантирует, что два значения будут одинаковыми в пределах примерно 9 десятичных цифр. rel_tol должно быть больше нуля.

abs_tol - минимальный абсолютный допуск - полезно для сравнений вблизи нуля. abs_tol должно быть не меньше нуля.

Если ошибок нет, результатом будет: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

Специальные значения IEEE 754 NaN, inf и -inf будут обрабатываться в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близким к любому другому значению, включая NaN. inf и -inf считаются близкими только к самим себе.

Добавлено в версии 3.5.

См.также

PEP 485 – Функция для проверки приблизительного равенства

Константы¶

cmath.pi¶

Математическая константа π, как плавающая величина.

cmath.e¶

Математическая константа e в формате float.

cmath.tau¶

Математическая константа τ, как плавающая величина.

Добавлено в версии 3.6.

cmath.inf¶

Положительная бесконечность с плавающей точкой. Эквивалентно float('inf').

Добавлено в версии 3.6.

cmath.infj¶

Комплексное число с нулевой действительной частью и положительной бесконечной мнимой частью. Эквивалентно complex(0.0, float('inf')).

Добавлено в версии 3.6.

cmath.nan¶

Значение с плавающей точкой «не число» (NaN). Эквивалентно float('nan').

Добавлено в версии 3.6.

cmath.nanj¶

Комплексное число с нулевой действительной частью и мнимой частью NaN. Эквивалентно complex(0.0, float('nan')).

Добавлено в версии 3.6.

Обратите внимание, что выбор функций аналогичен, но не идентичен выбору в модуле math. Причина наличия двух модулей заключается в том, что некоторые пользователи не интересуются комплексными числами и, возможно, даже не знают, что это такое. Они скорее предпочтут, чтобы math.sqrt(-1) вызывал исключение, чем возвращал комплексное число. Также обратите внимание, что функции, определенные в cmath, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ может быть выражен в виде действительного числа (в этом случае комплексное число имеет мнимую часть, равную нулю).

Замечание о срезах ветвей: Это кривые, вдоль которых данная функция не является непрерывной. Они являются необходимым свойством многих сложных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять с помощью сложных функций, то вы понимаете, что такое срезы ветвей. Обратитесь за просвещением практически к любой (не слишком элементарной) книге по комплексным переменным. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей для численных целей, хорошей ссылкой будет следующая: